Тесты СинергияАртём Хелп
Артём Help онлайнПолучить расчёт
Бесплатно оценим сроки и стоимостьОтправить задание в Telegram
Уравнения с частными производными.ти

Уравнения с частными производными.ти

Просмотрите все вопросы и варианты бесплатно. Правильные ответы скрыты и открываются только после получения доступа.

58 вопросов Вариант 1 Доступ 7 дней
Содержание теста

Вопросы и варианты

Без отметок и подсказок к правильным ответам

Вопрос 1

Какое уравнение называется уравнением с частными производными?

  1. Уравнение, содержащее неизвестную функцию и её производные по одной переменной
  2. Уравнение, содержащее неизвестную функцию нескольких переменных и её частные производные
  3. Уравнение, связывающее независимую переменную и производные функции
  4. Уравнение, в котором неизвестная функция зависит только от времени
Вопрос 2

Чем определяется порядок уравнения с частными производными?

  1. Количеством независимых переменных
  2. Степенью старшей производной
  3. Количеством слагаемых в уравнении
  4. Наивысшим порядком входящих в уравнение частных производных
Вопрос 3

Какое уравнение называется линейным уравнением с частными производными?

  1. Уравнение, в котором неизвестная функция и её производные входят в любой степени
  2. Уравнение, в котором неизвестная функция и её производные входят в первой степени и не перемножаются
  3. Уравнение, не содержащее произведений производных
  4. Уравнение, все коэффициенты которого постоянны
Вопрос 4

Какое уравнение называется однородным уравнением с частными производными?

  1. Уравнение, правая часть которого равна нулю
  2. Уравнение, в котором все коэффициенты постоянны
  3. Уравнение, не содержащее частных производных
  4. Уравнение, у которого все члены первой степени
Вопрос 5

Чем отличается общее решение УЧП от частного решения?

  1. Общее решение содержит произвольные постоянные, а частное – нет
  2. Общее решение всегда единственно, а частных может быть много
  3. Общее решение содержит произвольные функции, а частное получается из общего при задании дополнительных условий
  4. Общее решение удовлетворяет уравнению при любых значениях переменных, а частное – только при некоторых
Вопрос 6

В чём состоит различие между задачей Коши и краевой задачей для УЧП?

  1. Задача Коши ставится только для обыкновенных уравнений, а краевая – для УЧП
  2. В задаче Коши задаются условия на границе области, а в краевой – в начальный момент времени
  3. В задаче Коши условия задаются на всей границе, а в краевой – только на части
  4. В задаче Коши задаются начальные условия, а в краевой – граничные условия (или их комбинация)
Вопрос 7

Что определяет дискриминант при классификации линейного УЧП второго порядка A u_xx + 2 B u_xy + C u_yy + … = 0?

  1. Количество независимых переменных
  2. Порядок старшей производной
  3. Наличие свободного члена
  4. Тип уравнения (гиперболический, параболический или эллиптический)
Вопрос 8

Какова основная идея метода разделения переменных (метода Фурье)?

  1. Замена исходного уравнения интегральным уравнением
  2. Представление решения в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной
  3. Сведение УЧП к системе обыкновенных дифференциальных уравнений методом характеристик
  4. Применение преобразования Фурье к обеим частям уравнения
Вопрос 9

Для решения какого типа уравнений применяется метод характеристик?

  1. Для решения эллиптических уравнений второго порядка
  2. Для решения параболических уравнений с постоянными коэффициентами
  3. Для решения линейных и квазилинейных уравнений первого порядка
  4. Для решения волнового уравнения в многомерном случае
Вопрос 10

Какой численный метод основан на замене производных конечными разностями на равномерной сетке?

  1. Метод конечных элементов
  2. Метод граничных элементов
  3. Метод разделения переменных
  4. Метод конечных разностей
Вопрос 11

Какова цель приведения УЧП к каноническому виду?

  1. Упрощение численного решения
  2. Устранение смешанных производных и приведение к простейшему виду, удобному для анализа и решения
  3. Повышение порядка уравнения
  4. Понижение размерности задачи
Вопрос 12

Какой метод решения УЧП основан на использовании преобразования Фурье?

  1. Метод интегральных преобразований
  2. Метод разделения переменных
  3. Метод характеристик
  4. Метод конечных разностей
Вопрос 13

К какому типу относится уравнение u_tt - a^2 u_xx = 0?

  1. К эллиптическому
  2. К параболическому
  3. К гиперболическому
  4. К смешанному
Вопрос 14

Какая формула используется для решения одномерного волнового уравнения на бесконечной прямой (задача Коши)?

  1. Формула разделения переменных
  2. Формула характеристик
  3. Формула Пуассона
  4. Формула Даламбера
Вопрос 15

Какое выражение является формулой Даламбера для решения задачи Коши u_tt = a^2 u_xx на R?

  1. u(x,t) = phi(x - a t) phi(x + a t)
  2. u(x,t) = phi(x - a t) + phi(x + a t)
  3. u(x,t) = 1/2 [phi(x - a t) + phi(x + a t)] + (1/(2 a)) * int_{x - a t}^{x + a t} psi(s) ds
  4. u(x,t) = e^(-a t) phi(x)
Вопрос 16

Какое свойство характерно для решений гиперболических уравнений (например, волнового)?

  1. Бесконечная скорость распространения возмущений
  2. Конечная скорость распространения возмущений
  3. Отсутствие зависимости от начальных условий
  4. Периодичность решения независимо от начальных условий
Вопрос 17

Какие линии называются характеристиками волнового уравнения u_tt = a^2 u_xx?

  1. Линии уровня решения
  2. Линии, параллельные оси времени
  3. Линии x ± a t = const, вдоль которых распространяются разрывы
  4. Линии, на которых решение обращается в ноль
Вопрос 18

Что такое область зависимости для точки (x0, t0) в решении волнового уравнения u_tt = a^2 u_xx?

  1. Множество точек, в которых решение равно нулю
  2. Отрезок [x0 − a t0, x0 + a t0] на оси x, от которого зависит значение решения в данной точке
  3. Область, где решение положительно
  4. Интервал времени, в течение которого решение существует
Вопрос 19

Какое уравнение относится к параболическому типу?

  1. u_tt = a^2 u_xx
  2. u_t = kappa u_xx
  3. u_xx + u_yy = 0
  4. u_{xy} = 0
Вопрос 20

Что утверждает принцип максимума для уравнения теплопроводности?

  1. Принцип максимума утверждает, что максимальное значение решения в ограниченной области достигается либо на начальном слое, либо на пространственной границе области
  2. Принцип максимума утверждает, что решение всегда стремится к нулю при t -> +∞
  3. Принцип максимума утверждает, что решение не может принимать отрицательные значения
  4. Принцип максимума утверждает, что скорость изменения решения постоянна
Вопрос 21

В каком решении используется функция ошибок (erf)?

  1. В решении задачи остывания полубесконечного стержня с постоянной температурой на конце
  2. В решении задачи Коши для волнового уравнения
  3. В решении задачи Дирихле для круга
  4. В решении задачи методом характеристик для уравнения переноса
Вопрос 22

Какой вид имеет фундаментальное решение (тепловое ядро) одномерного уравнения теплопроводности u_t = kappa u_xx?

  1. (4pikappat)^(-1/2) * exp(- x^2 / (4kappa*t))
  2. -(1/(2*pi)) * ln r
  3. e^(-a t) * sin(a x)
  4. 1 / |x|
Вопрос 23

Какое свойство параболических уравнений отличает их от гиперболических с точки зрения скорости распространения возмущений?

  1. Конечная скорость распространения возмущений
  2. Бесконечная скорость распространения возмущений
  3. Отсутствие распространения возмущений
  4. Скорость распространения возмущений зависит от времени
Вопрос 24

Что называют стационарным решением уравнения теплопроводности?

  1. Решение, не зависящее от времени
  2. Решение, периодическое по времени
  3. Решение, удовлетворяющее волновому уравнению
  4. Решение, линейно зависящее от времени
Вопрос 25

Какое из условий является граничным условием III рода (Робина) уравнения Лапласа?

  1. u|_Gamma = phi(x)
  2. du/dn|_Gamma = psi(x)
  3. du/dn + h*u = phi(x) на Gamma
  4. Delta u = f(x) в Omega
Вопрос 26

Какие физические процессы описываются уравнениями эллиптического типа?

  1. Стационарные поля
  2. Распространение тепла
  3. Колебания струны
  4. Диффузия примесей
Вопрос 27

Какой вид имеет фундаментальное решение (функция Грина) для двумерного уравнения Лапласа в R^2?

  1. Обратно пропорциональный расстоянию
  2. Экспоненциальный
  3. Логарифмический
  4. Линейный
Вопрос 28

Какую роль выполняет функция Грина при решении краевых задач для эллиптических уравнений?

  1. Функция Грина заменяет дифференциальный оператор разностным аналогом
  2. Функция Грина представляет решения в виде бегущей волны
  3. Функция Грина сводит краевую задачу к интегральному уравнению
  4. Функция Грина проводит разложение решения в ряд Фурье
Вопрос 29

Чем задача Дирихле отличается от задачи Неймана для уравнения Лапласа?

  1. В задаче Дирихле на границе области задаётся значение функции, а в задаче Неймана – значение нормальной производной
  2. Задача Дирихле ставится только для внутренних областей, а задача Неймана – только для внешних
  3. Задача Дирихле ставится только внутри области, а Неймана – вне
Вопрос 30

Сколько произвольных функций содержит общее решение УЧП второго порядка?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. Бесконечно много
Вопрос 31

Для гиперболического УЧП второго порядка при приведении к каноническому виду обычно вводят новые переменные…

  1. xi = x, eta = y
  2. xi = f1(x,y), eta = f2(x,y)
  3. xi = r, eta = theta
  4. xi = x + y, eta = x - y
Вопрос 32

Для параболического УЧП второго порядка при приведении к каноническому виду количество независимых общих интегралов характеристик равно…

  1. одному
  2. двум
  3. трём
  4. нулю
Вопрос 33

Для эллиптического УЧП второго порядка при приведении к каноническому виду новые переменные выбирают как …

  1. действительные корни характеристического уравнения
  2. действительные и мнимые части комплексного общего интеграла
  3. любые линейные комбинации x и y
  4. полярные координаты
Вопрос 34

Какая формула описывает оператор Лапласа в трёхмерном случае?

  1. Delta u = u_x + u_y + u_z
  2. Delta u = u_xx + u_yy + u_zz
  3. Delta u = du/dn
  4. Delta u = u_tt - a^2 u_xx
Вопрос 35

Что означает корректность постановки задачи?

  1. Существование решения
  2. Единственность решения
  3. Существование, единственность и устойчивость решения
  4. Устойчивость по данным
Вопрос 36

Теорема Коши–Ковалевской гарантирует…

  1. решение для любых непрерывных коэффициентов
  2. существование и единственность аналитического решения при аналитических коэффициентах и данных в окрестности начальной поверхности
  3. сходимость численного решения
  4. существование слабого решения
Вопрос 37

Какое из утверждений верно для уравнения теплопроводности?

  1. Уравнение сохраняет разрывы начальных данных
  2. Уравнение обладает сглаживающим эффектом: при t > 0 решение становится бесконечно дифференцируемым
  3. Уравнение обратимо по времени
  4. Уравнение имеет конечную скорость распространения возмущений
Вопрос 38

Как формулируется свойство «среднего значения» для гармонических функций (в 3D)?

  1. Значение в точке равно максимуму по сфере
  2. Значение в точке равно среднему по любой сфере с центром в этой точке
  3. Значение в точке равно интегралу по границе области
  4. Значение в точке равно среднему по всей области
Вопрос 39

Какие из утверждений верны для волнового уравнения?

  1. Обратимость по времени
  2. Бесконечная скорость распространения
  3. Отсутствие зависимости от начальных условий
  4. Наличие закона сохранения энергии
Вопрос 40

Для задачи Коши для волнового уравнения в 3D формула Кирхгофа использует интегрирование по …

  1. диску радиуса a t
  2. сфере радиуса a t
  3. цилиндру высоты t
  4. отрезку [x − a t, x + a t]
Вопрос 41

Формула Пуассона для 2D волнового уравнения включает интегрирование по …

  1. кругу радиуса a t
  2. сфере радиуса a t
  3. отрезку
  4. эллипсу
Вопрос 42

Для задачи Коши уравнения теплопроводности на всей прямой применяют метод…

  1. разделения переменных
  2. преобразования Фурье по x
  3. характеристик
  4. конформных отображений
Вопрос 43

Какое граничное условие соответствует теплоизолированной границе?

  1. u = u0
  2. du/dn = 0
  3. du/dn + h*u = phi
  4. Delta u = 0
Вопрос 44

Что из перечисленного верно про смешанную задачу (для волнового или теплового уравнения)?

  1. Задаются только граничные условия
  2. Задаются только начальные условия
  3. Задаются начальные и граничные условия совместно
  4. Задаются условия на бесконечности
Вопрос 45

Какое из условий является граничным условием II рода (Неймана) уравнения Лапласа?

  1. du/dn|_Gamma = psi(x)
  2. u|_Gamma = phi(x)
  3. du/dn + h*u = phi(x) на Gamma
  4. Delta u = f(x) в Omega
Вопрос 46

Как записывается характеристическая система для уравнения P(x,y,u) u_x + Q(x,y,u) u_y = R(x,y,u)?

  1. du/dx = P, du/dy = Q
  2. dx/dt = P, dy/dt = Q, du/dt = R
  3. dx/dt = u, dy/dt = u, du/dt = P + Q
  4. dx/dt = R, dy/dt = P, du/dt = Q
Вопрос 47

Что такое начальная кривая Γ в задаче Коши для уравнения первого порядка?

  1. Кривая уровня решения u(x, y) = const
  2. Гладкая кривая Γ, заданная параметрически x = x₀(s), y = y₀(s), на которой задано начальное условие u(x₀(s), y₀(s)) = φ(s)
  3. Кривая характеристик данного уравнения
  4. Кривая произвольной траектории интегрирования в пространстве (x, y, u)
Вопрос 48

Какое утверждение о типах УЧП корректно?

  1. D > 0 — эллиптический тип
  2. D > 0 — гиперболический тип
  3. D = 0 — эллиптический тип
  4. D < 0 — параболический тип
Вопрос 49

Для внешних краевых задач (например, для Пуассона) помимо граничного условия обычно задают…

  1. начальные условия
  2. условия на бесконечности (например, u(x) = o(1), |x| -> infinity)
  3. ещё одну производную по времени
  4. значение функции в центре области
Вопрос 50

Какие ограничения на коэффициенты α(x), β(x) в граничном условии общего вида α u + β ∂u/∂n = v на границе S типично накладываются?

  1. α ≤ 0, β ≤ 0
  2. α(x) ≥ 0, β(x) ≥ 0, α(x) + β(x) > 0
  3. α + β = 0
  4. α = β = 0
Вопрос 51

Какая скорость распространения возмущений у параболических уравнений (теплопроводность)?

  1. Конечная скорость
  2. Условно бесконечная скорость
  3. Скорость, зависящая от начальных условий
  4. Скорость, равная нулю
Вопрос 52

Какой метод применяется для получения стационарного решения из уравнения теплопроводности?

  1. Метод применения характеристик
  2. Метод перехода к установившемуся режиму: u_t = 0, что приводит к Delta u = 0
  3. Метод преобразования Лапласа по времени
  4. Метод разностной аппроксимации
Вопрос 53

Какое из утверждений верно для функции Грина?

  1. Функция Грина всегда равна нулю во всей области
  2. Функция Грина является фундаментальным решением соответствующего оператора с учётом граничных условий
  3. Функция Грина не зависит от геометрии области
  4. Функция Грина применяется к уравнению теплопроводности и не применяется к уравнению Лапласа
Вопрос 54

Какая из стратегий продолжения начальных данных используется для полубесконечного стержня с условием u_x(0,t) = 0?

  1. Чётное продолжение
  2. Нечётное продолжение
  3. Периодическое продолжение
  4. Случайное продолжение
Вопрос 55

Какое из следующих утверждений относится к методу конформных отображений?

  1. Метод применим исключительно в 3D
  2. Метод сохраняет гармоничность (Delta u = 0) в 2D
  3. Метод основан на построении характеристик
  4. Метод требует равномерной сетки
Вопрос 56

Строгий принцип максимума для уравнения теплопроводности утверждает, что максимум …

  1. достигается внутри области
  2. достигается во внутренней точке только для постоянного решения
  3. всегда равен нулю
  4. равен среднему по границе
Вопрос 57

Какой метод численного решения позволяет учитывать только границу области и эффективен для бесконечных областей?

  1. Метод конечных разностей
  2. Метод конечных элементов
  3. Метод граничных элементов
  4. Метод характеристик
Вопрос 58

Какое утверждение верно относительно интерпретации математического решения?

  1. Физическая интерпретация решения не требуется
  2. Решение необходимо интерпретировать в терминах исходной физической задачи (температуры, потенциала, перемещений и т.п.)
  3. Интерпретация противоречит математическому решению
  4. Интерпретация решения заменяет постановку граничных условий