Тесты СинергияАртём Хелп
Артём Help онлайнПолучить расчёт
Бесплатно оценим сроки и стоимостьОтправить задание в Telegram
Теория чисел и числовые системы.dor_БАК_26-068-Б

Теория чисел и числовые системы.dor_БАК_26-068-Б — вариант 6

Просмотрите все вопросы и варианты бесплатно. Правильные ответы скрыты и открываются только после получения доступа.

50 вопросов Вариант 6 Доступ 7 дней
Содержание теста

Вопросы и варианты

Без отметок и подсказок к правильным ответам

Вопрос 1

Алгоритм Евклида используется для нахождения …

  1. НОК (наименьшее общее кратное)
  2. НОД (наибольший общий делитель)
  3. функции Эйлера
  4. решета Эратосфена
Вопрос 2

Лемма Евклида: если d│ab и (d,a)=1, то …

  1. d│a
  2. d│b
  3. a│b
  4. b│a
Вопрос 3

Связь НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное) для двух натуральных чисел a и b (через произведение) имеет вид …

  1. НОД(a,b)+НОК(a,b)=ab
  2. НОД(a,b)·НОК(a,b)=ab
  3. НОК(a,b)=a+b
  4. НОД(a,b)=a-b
Вопрос 4

Для простого p значение функции Эйлера φ(p) равно …

  1. p
  2. p-1
  3. p+1
  4. 1
Вопрос 5

Если натуральное число не имеет делителей, не превосходящих его … корня то оно является простым числом

  1. квадратного
Вопрос 6

Представление натурального числа в виде произведения простых множителей, расположенных в порядке возрастания (60 = 2 ×2 ×3 ×5), — это … разложение числа

  1. каноническое
Вопрос 7

Соотнесите свойства чисел с их характеристиками:

  1. Простое число
  2. Составное число
  3. Взаимно простые числа
  4. Кольцо
  5. Делитель числа
  6. натуральное число с двумя делителями: 1 и самим числом
  7. натуральное число с более чем двумя делителями
  8. числа, НОД (наибольший общий делитель) которых равен 1
  9. алгебраическая структура с операциями сложения и умножения
  10. целое число, на которое данное число делится без остатка
Вопрос 8

Установите соответствие между математическими понятиями и их определениями:

  1. НОД
  2. НОК
  3. Функция Эйлера
  4. Решето Эратосфена
  5. Алгоритм Евклида
  6. наибольшее число, на которое делятся все данные числа
  7. наименьшее число, кратное всем данным числам
  8. функция, показывающая количество чисел, взаимно простых с данным
  9. метод нахождения всех простых чисел до заданного числа
  10. метод нахождения наибольшего общего делителя
Вопрос 9

Расположите в хронологическом порядке появление математических понятий:

  1. натуральные числа
  2. простые числа
  3. целые числа
  4. рациональные числа
  5. кольцо как алгебраическая структура
Вопрос 10

Установите правильную последовательность развития теорем и алгоритмов:

  1. решето Эратосфена
  2. теорема о делении с остатком
  3. алгоритм Евклида
  4. основная теорема арифметики
  5. функция Эйлера
Вопрос 11

Теорема Эйлера утверждает, что при (a,m)=1 верно …

  1. am ≡ 1 (mod m)
  2. aφ(m) ≡ 1 (mod m)
  3. a(m−1) ≡ 1 (mod m)
  4. aφ(m) ≡ 0 (mod m)
Вопрос 12

Линейное сравнение ax ≡ b (mod m) имеет решения тогда и только тогда, когда …

  1. (a,m)=1
  2. НОД(a,m) делит b
  3. b делит m
  4. a делит m
Вопрос 13

Если d = НОД(a,m) ˃ 1 и d│b, то число решений сравнения ax ≡ b (mod m) по модулю m равно …

  1. 1
  2. d
  3. m
  4. φ(m)
Вопрос 14

Китайская теорема об остатках гарантирует единственность решения системы сравнений по модулю …

  1. суммы модулей
  2. произведения модулей
  3. НОД (наибольший общий делитель) модулей
  4. максимального модуля
Вопрос 15

Если модуль m простое число, то кольцо классов вычетов по модулю m является …

  1. полем
Вопрос 16

Теорема … утверждает, что для любого целого числа a и простого числа p справедливо сравнение ap-1≡1 (mod p), если a не делится на p

  1. Ферма
Вопрос 17

Установите соответствие между типами систем вычетов и их характеристиками:

  1. Полная система вычетов
  2. Приведённая система вычетов
  3. Нулевой класс вычетов
  4. Мультипликативная группа
  5. содержит ровно m чисел, по одному из каждого класса
  6. содержит числа, взаимно простые с модулем
  7. состоит из чисел, дающих остаток 0 при делении на модуль
  8. образует группу относительно умножения
Вопрос 18

Установите соответствие между теоремами и их формулировками:

  1. Теорема Эйлера
  2. Теорема Ферма
  3. Теорема о сравнении степеней
  4. aᵠ(m) ≡ 1 (mod m), если (a,m) = 1
  5. ap-1 ≡ 1 (mod p), если (a,p) = 1
  6. aᵏ ≡ bᵏ (mod m), если a ≡ b (mod m)
Вопрос 19

Расположите типы колец классов вычетов от наименее структурированного к наиболее структурированному по количеству и качеству их алгебраических свойств.

  1. мультипликативная группа кольца вычетов
  2. кольцо с делителями нуля
  3. кольцо классов вычетов по составному модулю
  4. кольцо классов вычетов по простому модулю
Вопрос 20

Расположите теоремы в порядке их появления в истории математики:

  1. китайская теорема об остатках
  2. теорема Ферма
  3. теорема о сравнениях степеней
  4. теорема Эйлера
Вопрос 21

Вычеты 2-й степени по простому модулю p называют … вычетами

  1. кубическими
  2. квадратичными
  3. биквадратичными
Вопрос 22

Метод таблиц индексов для решения показательных сравнений применим прежде всего, когда модуль …

  1. любой
  2. простое число
  3. чётный
  4. равен 1
Вопрос 23

После индексирования сравнения ax ≡ b (mod p) обычно получают сравнение …

  1. x ≡ b (mod p)
  2. x·indg(a) ≡ indg(b) (mod p−1)
  3. indg(x) ≡ indg(a) (mod p)
  4. x2 ≡ 1 (mod p−1)
Вопрос 24

Говоря о первообразных корнях, можно утверждать, что …

  1. по любому простому модулю p существует ровно φ(p-1) первообразных корней
  2. первообразный корень по модулю p — это число, показатель которого равен p
  3. если a — первообразный корень по модулю p, то a(p-1) ≡ 0 (mod p)
  4. первообразные корни существуют для любого составного модуля
Вопрос 25

Наименьшее положительное целое число k, для которого выполняется сравнение ak≡1 (mod m). Если a первообразный корень по модулю p, то его показатель равен p-1, — это … числа a по модулю m

  1. показатель
Вопрос 26

Число, взаимно простое с модулем, называется ... корнем, если наименьшая степень, при которой оно даёт единицу по модулю, равна значению функции Эйлера

  1. первообразным
Вопрос 27

Установите соответствие между свойствами и их определениями:

  1. Показатель числа
  2. Первообразный корень
  3. Индекс числа
  4. Класс вычетов
  5. наименьшее положительное число k, при котором ak≡1 (mod m)
  6. число, показатель которого равен φ(m)
  7. показатель степени первообразного корня, при котором получается данное число
  8. класс чисел, сравнимых по модулю m
Вопрос 28

Соотнесите математические свойства с их определениями:

  1. Свойство показателей взаимно простых чисел
  2. Характеристика первообразного корня
  3. Основное свойство индекса числа
  4. Условие существования первообразного корня
  5. Свойство классов вычетов одной степени
  6. если два числа сравнимы по модулю, то их показатели совпадают
  7. число, взаимно простое с модулем, у которого показатель равен φ(m)
  8. индекс переводит умножение в сложение, степень — в умножение, деление — в разность индексов
  9. по любому простому модулю существует φ(p1) классов первообразных корней
  10. все числа одного класса вычетов имеют один и тот же показатель
Вопрос 29

Расставьте в правильном порядке шаги алгоритма нахождения первообразного корня:

  1. выбрать число, взаимно простое с модулем
  2. проверить, что выбранное число взаимно просто с модулем
  3. проверить, что показатель числа равен φ(m)
  4. убедиться, что ни одна меньшая степень, связанная с делителями φ(m), не даёт единицу по модулю
  5. рассмотреть степени выбранного числа
Вопрос 30

Расположите свойства индексов в порядке их важности (от самого важного к наименее важному) при решении задач:

  1. индекс — это показатель степени, при котором основание даёт число
  2. индекс существует для всех чисел, взаимно простых с модулем
  3. индекс переводит умножение в сложение
  4. индекс переводит степень в умножение
  5. индекс переводит деление в разность индексов
Вопрос 31

Отношение строгого порядка ˂является линейным, если для любых m,n верно …

  1. m˂n и n˂m одновременно
  2. m˂n, или n˂m, или m=n
  3. m=n всегда
  4. m≤n всегда
Вопрос 32

Теорема о согласованности порядка с операциями на ℕ утверждает: если m˂n, то …

  1. m+l = n+l
  2. m+l ˂ n+l и m·l ˂ n·l
  3. m+l ˃ n+l
  4. m·l = n·l
Вопрос 33

Неверно, что сложение натуральных чисел …

  1. коммутативно
  2. ассоциативно
  3. обладает свойством дистрибутивности относительно умножения
  4. обладает свойством сокращения
Вопрос 34

Неверно, что умножение натуральных чисел ...

  1. коммутативно
  2. ассоциативно
  3. дистрибутивно относительно сложения
  4. на 0 дает 1
  5. обладает свойством сокращения
Вопрос 35

Первая аксиома Пеано утверждает существование натурального числа ... , которое не следует ни за каким другим натуральным числом

  1. 1
  2. единица
  3. один
Вопрос 36

Вторая аксиома Пеано гласит: для любого натурального числа существует ... натуральное число

  1. следующее
Вопрос 37

Соотнесите аксиомы Пеано с их математическими формулировками:

  1. Аксиома существования единицы
  2. Аксиома следования
  3. Аксиома единственности
  4. Аксиома предшествования
  5. Аксиома индукции
  6. существует натуральное число 1 ∈ N, которое не следует ни за каким натуральным числом
  7. для любого натурального числа n существует следующее число n’
  8. если n’ следует за n и m’ следует за n, то n’ = m’
  9. если n’ следует за n и m’ следует за m, и n’ = m’, то n = m
  10. если P(1) истинно и из P(n) следует P(n’), то P(n) истинно для всех натуральных n
Вопрос 38

Установите соответствие между свойствами арифметических операций и их математическими определениями:

  1. Базовое свойство сложения
  2. Второе свойство сложения
  3. Первое свойство умножения
  4. Второе свойство умножения
  5. Свойство коммутативности
  6. m + 1 следует за m
  7. если n’ следует за n, то m + n’ следует за m + n
  8. m × 1 = m
  9. m × (n + 1) = m × n + m
  10. m + n = n + m
Вопрос 39

Расставьте в правильном порядке этапы доказательства коммутативности сложения натуральных чисел:

  1. проверка базового случая для единицы
  2. использование индукционного предположения
  3. применение свойства следования
  4. доказательство для следующего числа
  5. формулировка общего заключения
Вопрос 40

Расположите в правильной последовательности шаги определения умножения натуральных чисел:

  1. определение умножения на единицу
  2. определение умножения на следующее число
  3. проверка базовых случаев
  4. применение свойства дистрибутивности
  5. доказательство свойств умножения
Вопрос 41

Произведение (u+vi)(x+yi) равно …

  1. (ux+vy)+(uy+vx)i
  2. (ux−vy)+(uy+vx)i
  3. (ux−vy)+(uy−vx)i
  4. (ux+vy)+(uy−vx)i
Вопрос 42

Свойство «алгебраическая замкнутость поля ℂ» означает, что …

  1. в ℂ нет нуля
  2. любой многочлен степени не меньше 1
  3. в ℂ нельзя делить
  4. ℂ = ℝ
Вопрос 43

Теорема из конспекта утверждает: для любого a∈ℂ уравнение z2=a …

  1. не имеет решений
  2. имеет хотя бы один корень
  3. имеет ровно 1 корень
  4. имеет корень только при a∈ℝ
Вопрос 44

Неверно, что поле рациональных чисел является …

  1. минимальным полем, содержащим кольцо целых чисел
  2. упорядоченным полем
  3. полным полем
Вопрос 45

В поле рациональных чисел каждый элемент имеет … кратное, то есть существует натуральное число n, при умножении на которое получается целое число

  1. целое
Вопрос 46

В упорядоченном поле, если a ˂b и c ˃0, то выполняется свойство … , то есть сохраняется порядок при сложении и умножении на положительное число

  1. монотонности
Вопрос 47

Установите соответствие между свойствами полей и их характеристиками:

  1. Свойство упорядоченности поля
  2. Свойство архимедовости поля
  3. Свойство полноты поля
  4. Свойство замкнутости поля
  5. отношение порядка согласовано с операциями поля
  6. для любых положительных a, b найдётся натуральное n, что b ˂ na
  7. поле содержит все пределы фундаментальных последовательностей
  8. поле замкнуто относительно всех четырёх арифметических операций
Вопрос 48

Соотнесите числовые системы с их характеристиками:

  1. Натуральные числа
  2. Целые числа
  3. Рациональные числа
  4. Действительные числа
  5. Комплексные числа
  6. являются основой для построения всех остальных числовых систем
  7. получаются из натуральных чисел добавлением операции вычитания
  8. получаются из целых чисел добавлением операции деления
  9. образуют поле, где можно выполнять все арифметические операции
  10. являются алгебраически замкнутым полем, где существует корень для любого уравнения
Вопрос 49

Расположите этапы построения числовых систем в хронологическом порядке:

  1. формирование натуральных чисел как основы счета
  2. расширение натуральных чисел до целых путем добавления отрицательных чисел
  3. создание рациональных чисел путем добавления операции деления
  4. построение действительных чисел как непрерывных величин
  5. введение комплексных чисел для решения уравнений с отрицательным дискриминантом
Вопрос 50

Расставьте свойства полей в порядке их значимости (от наиболее значимого к наименее значимому):

  1. свойства сложения (ассоциативность, коммутативность, существование нуля)
  2. свойства умножения (ассоциативность, коммутативность, существование единицы)
  3. связующие свойства (дистрибутивность, нетривиальность)
  4. свойство обратимости для сложения
  5. свойство обратимости для умножения