Ответы на тесты Теория чисел и числовые системы.dor_БАК_26-068-Б

a = b·k

16 ; шестнадцать ; шестнадцати

натуральные числа ; простые числа ; целые числа ; взаимно простые числа ; кольцо (как алгебраическая структура)

i2=-1

умножение ; умножения

ℕ ; ℤ ; ℚ ; ℝ ; ℂ

m│(a−b)

a^(p−1) ≡ 1 (mod p)

свойство рефлексивности ; свойство симметричности ; свойство сложения ; свойство умножения ; свойство транзитивности

Число 41 —простое, количество ключей: 40, альтернативный модуль: 43.

НОД(n, p−1)

Вычет n-й степени = xn ≡ a (mod p) имеет решение ; Невычет n-й степени = xn ≡ a (mod p) не имеет решений ; Таблица индексов = соответствие a ↔ indg(a) для 1…p−1

множество всех первообразных корней по модулю p ; множество всех чисел с показателем 2 по модулю p ; множество всех индексов числа a по модулю p ; множество всех классов вычетов по модулю p

d│b

каноническое

натуральные числа ; простые числа ; целые числа ; рациональные числа ; кольцо как алгебраическая структура

d

Ферма

мультипликативная группа кольца вычетов ; кольцо с делителями нуля ; кольцо классов вычетов по составному модулю ; кольцо классов вычетов по простому модулю

x·indg(a) ≡ indg(b) (mod p−1)

первообразным

индекс — это показатель степени, при котором основание даёт число ; индекс существует для всех чисел, взаимно простых с модулем ; индекс переводит умножение в сложение ; индекс переводит степень в умножение ; индекс переводит деление в разность индексов

на 0 дает 1

Аксиома существования единицы = существует натуральное число 1 ∈ N, которое не следует ни за каким натуральным числом ; Аксиома следования = для любого натурального числа n существует следующее число n’ ; Аксиома единственности = если n’ следует за n и m’ следует за n, то n’ = m’ ; Аксиома предшествования = если n’ следует за n и m’ следует за m, и n’ = m’, то n = m ; Аксиома индукции = если P(1) истинно и из P(n) следует P(n’), то P(n) истинно для всех натуральных n

определение умножения на единицу ; определение умножения на следующее число ; проверка базовых случаев ; применение свойства дистрибутивности ; доказательство свойств умножения

полным полем

Свойство упорядоченности поля = отношение порядка согласовано с операциями поля ; Свойство архимедовости поля = для любых положительных a, b найдётся натуральное n, что b ˂ na ; Свойство полноты поля = поле содержит все пределы фундаментальных последовательностей ; Свойство замкнутости поля = поле замкнуто относительно всех четырёх арифметических операций

свойства сложения (ассоциативность, коммутативность, существование нуля) ; свойства умножения (ассоциативность, коммутативность, существование единицы) ; связующие свойства (дистрибутивность, нетривиальность) ; свойство обратимости для сложения ; свойство обратимости для умножения

x≡12 (mod 53).

«Неправильные натуральные ряды» используются для того, чтобы показать, что каждая аксиома не может быть выведена из остальных, так как существует модель, где все аксиомы, кроме проверяемой, верны

Свойства монотонности сложения и умножения, свойство Архимеда и нетривиальность поля.

доказать P(n)⇒P(n+1)

Коммутативность сложения = m+n = n+m ; Ассоциативность сложения = (m+n)+k = m+(n+k) ; Дистрибутивность = (l+m)·n = l·n + m·n

Доказательство строится следующим образом: сначала доказываются базовые свойства сложения через аксиому индукции, затем вводятся и доказываются свойства умножения, после этого доказываются свойства, связывающие сложение и умножение, все доказательства опираются на аксиомы Пеано и метод математической индукции.